Nhớ Về Thăng Long

 

                                                              GS Nguyễn Xuân Vinh

 

            Một năm đã qua, và giờ đây khi tôi ngồi để nghĩ đến một đề tài viết bài cho báo Xuân  như hàng năm tôi vẫn làm, thì lại đúng vào một buổi sáng khi tôi vừa đọc lại một bài thơ cổ và một bài toán cổ và tôi thấy hai bài có chút liên hệ với nhau về thời gian và không gian. Một bài nhắc đến thành Thăng Long và một bài nói về Hà Nội. Bài trước là một bài thơ diễm tuyệt và bài sau là một bài toán vui và bổ ích. Hai bài đều được viết cách đây hơn một thế kỷ, và ở hai phương trời xa cách nhau hàng vạn dậm, nghĩa là xa trọn nửa vòng trái cầu. Đọc hai bài viết đã đưa lại cho tôi một chút suy nghĩ. Tôi ghi lại ở đây, để chia xẻ cùng bạn đọc, mấy giòng tản mạn,  với một chút hoài niệm nhớ về cố đô xưa.

 

Bà Huyện Thanh Quan

 

            Bài thơ nói về thành Thăng Long mà lại là một bài thơ hay tuyệt vời thì phần lớn chúng ta ai cũng biết và thuộc nằm lòng là bài thất ngôn bát cú của Bà Huyện Thanh Quan

 

        Thăng Long Thành Hoài Cổ

 

                                                        Tạo hoá gây chi cuộc hí trường

                                                        Đến nay thấm thoát mấy tinh sương.

                                                        Lối xưa xe ngựa hồn thu thảo,

                                                        Nền  cũ lâu đài bóng tịch dương.

                                                        Đá vẫn bền gan cùng tuế nguyệt,

                                                        Nước còn cau mặt với tang thương.

                                                        Ngàn năm gương cũ soi kim cổ,

                                                        Cảnh đấy người đây  luống đoạn trường!

 

            Tính danh của nữ thi sĩ là gì thì không ai rõ. Sách văn học chỉ ghi lại bà là con ông nho Dương, người làng Nghi Tàm, huyện Hoàn Long, ở ngoại thành Hà Nội. Bà lấy ông Lưu Nghi, người làng Nguyệt Áng, huyện Thanh Trì, cùng tỉnh Hà Đông, đậu cử nhân khoa Tân Tỵ (1821) thời Minh Mệnh. Ông làm quan đến Tri Huyện nên bà thường được biết đến như là Bà Huyện Thanh Quan. Về cuối đời, bà được vời vào Huế làm Cung trung giáo tập để dậy các hoàng tử. Thời Tự Đức (1847-1883) , đôi khi bà được vua ban cho thơ chữ Hán và thơ Nôm, phu nhân cũng họa lại được nên vua qúi trọng lắm. Căn cứ vào những niên tích này thì thấy là những hoạt động thơ văn của bà là vào cuối thời Minh Mệnh và những năm đầu thời Tự Đức. Lúc đó kinh đô đã rời vào Phú Xuân, tức kinh thành Huế bây giờ và ở ngoài thành Thăng Long, kể từ những triều vua nhà Lê cuối cùng là Lê Hiển Tông (1740-1786) và Lê Chiêu Thống (1787-1788), cho tới nay cũng đã trải qua khoảng một trăm năm để bà nhìn thấy cảnh triều đại hưng phế mà viết lên những câu thơ như những hàng châu ngọc gợi cảm cho người đọc. Thơ của bà viết  rất  nhẹ nhàng, mỗi bài thơ tả cảnh đọc lên làm ta hình dung như một bức tranh thủy mạc, chấm phá thật tài tình, lời thơ tao nhã lại đượm nét u hoài. Lần bà được vua triệu vào Phú Xuân , khi đi tới đèo Ngang thuộc về rặng núi Hoành sơn, là một nhánh núi của dẫy Trường sơn, chạy từ cao nguyên ra bể, làm giới hạn cho hai tỉnh Hà Tĩnh và Quảng Bình, bà tức cảnh làm một bài thơ, có thể coi như là một tuyệt tác của thơ Nôm, luậït Đường.

 

        Qua Đèo Ngang Tức Cảnh

 

                                                        Bước tới Đèo Ngang bóng đã tà,

                                                        Cỏ cây chen đá, lá chen hoa.

Lom khom dưới núi tiều vài chú,

Lác đác bên sông, chợ mấy nhà.

Nhớ nước đau lòng con quốc quốc,

Thương nhà mỏi miệng cái gia gia.

Dừng chân đứng lại trời, non, nước,

Một mảnh tình riêng ta với ta.

 

            Bài thơ này thật là một bức tranh tuyệt mỹ, như đã được vẽ nên bằng những nét bút tài hoa tạo nên một khung cảnh trời, non và nước và, chỉ lơ thơ điểm thêm một vài nét, nữ sĩ  đã đưa được vào bức tranh, và làm linh động thêm, vài chú tiều phu đốn củi dưới chân núi, và mấy quán hàng buổi chợ chiều ở ven sông. Câu kết của bài thơ đã nói lên tâm trạng của người thơ, một buổi chiều lữ thứ.

           

            Bà Huyện Thanh Quan không sinh trưởng vào thời Lê Mạt nên không nhìn thấy cảnh sầm uất triều nghi ở Thăng Long khi có vua Lê và chúa Trịnh, thời đó tuy không hẳn là phồn thịnh nhưng cũng có cảnh vàng son của hoàng thành và uy quyền của phủ chúa, người đọc sách sử tất nhiên hiểu biết. Vì thế nên khi nhìn thấy cảnh điêu tàn của cung điện, thấy bóng dáng và ảnh hưởng của người Tây phương vào xã hội đương thời, bà mới thấy luyến tiếc gương cũ ngàn năm để cảm thấy đau lòng.

 

Cây Tháp Ở Hà Nội

 

            Câu chuyện thứ hai cũng nhắc tới thành phố thân yêu của chúng ta, sau thời đại nhà Lê không còn gọi là Thăng Long nữa mà có tên mới là Hà Nội, có nghĩa là thành phố ở phiá trong con sông Hồng. Vào năm 1883, tức là cách đây hơn một trăm năm, trên một tờ báo ở Paris có đăng một bài viết về toán vui đuợc ký tên là giáo sư  Claus. Bài này tả một đồ chơi toán học, đặt tên là “La Tour d’Hanoi”, tức là “Cây Tháp ở Hà Nội”, và đồ chơi này có một tấm bảng gỗ trên có ba cái cọc, gọi là A, B và C như theo Hình 1. Trên cọc A có để xuyên 8 chiếc đĩa tròn, đường kính to nhỏ khác nhau, đĩa lớn bao giờ cũng ở dưới đĩa nhỏ hơn. Bài toán là làm cách nào chuyển dần những đĩa, mỗi lần nhấc một cái, để đưa tất cả các đĩa ở cọc A sang một cọc khác, với điều kiện là trong sự luân lưu di chuyển giữa 3 cọc, bao giờ cũng tôn trọng nguyên tắc là đĩa lớn nằm dưới đĩa bé hơn, và số lần chuyển đĩa là một số tối thiểu.

 

            Sang năm sau, tức là năm 1884, thì có một bài báo của ông Henri de Parville cho biết rằng giáo sư  Claus là tên hiệu của nhà toán học có uy tín thời đó là giáo sư Edouard Lucas, tác giả cuốn sách có giá trị “Théorie des Nombres” (Lý thuyết Số Học). Mỗi lần viết bài về toán vui giải trí thì ông lại đổi tên thực là Lucas thành tên hiệu là Claus. Ông De Parville lại kể thêm câu chuyện là thật sự trò chơi cây tháp ở Hà Nội bắt đầu từ một tích truyền kỳ ở Ấn Độ. Một nhóm cao tăng của Ấn giáo đã được giao trọng trách chuyễn dần 64 đĩa bằng vàng giữa 3 cọc bằng kim cương theo điều lệ đã kể ở trên. Cũng theo truyền tích này thì khi thành tựu sự chuyển đĩa, ở giây phút cuối cùng, khi chiếc đĩa vàng nhỏ nhất được đặt xuống, thì trời đất vạn vật đều tan sụp xuống thành cát bụi. Sự việc này có thể xẩy ra hay không ta sẽ coi lại ở đoạn cuối

 

Hình 1

 

 

Nhớ Về Hà Nội

 

            Trước khi tiếp tục với bài toán cây tháp, thiết tưởng chúng ta cũng nên tìm hiểu sự chuyển biến từ tên gọi Thăng Long thành ra Thành phố Hà Nội ra sao theo với  thời gian. Khởi thủy từ ông Lý Công Uẩn, khi lên ngôi hoàng đế là Lý Thái Tổ, thấy kinh thành cũ nhà Tiền Lê ở đất Hoa Lư chật hẹp không có thể mở mang ra làm chỗ đô hội được, liền dời đô ra La Thành. Tháng 7 năm Canh Tuất, tức là năm Thuận Thiên nguyên niên (1010), khi đoàn thuyền ngự tới nơi, Thái Tổ lấy cớ có điềm trông thấy rồng vàng hiện ra, bèn đổi Đại La thành là Thăng Long thành. Tới thời nhà Nguyễn, vào năm Nhâm Tuất (1802), khi vua Thế Tổ Cao Hoàng đưa quân ra Bắc, dẹp xong nhà Tây Sơn, bình được đất Bắc hà, thống nhất giang sơn, từ Nam chí Bắc thì ngài vẫn giữ tổ chức hành chánh và quân sự, có Bắc thành và Gia Định thành. Từ Thanh Hoá ngoại, tức là địa phận Ninh Bình bây giờ trở ra gọi là Bắc thành gồm có 5 nội trấn và 6 ngoại trấn. Từ Bình Thuận trở vào, gọi là Gia Định thành gồm có 5 trấn. Ở khoảng giữa đất nước tức là miền Trung bây giờ thì chia làm 7 trấn, riêng phần đất kinh kỳ thì đặt thành 4 doanh. Ở Bắc thành và Gia Định thành đều đặt chức Tổng Trấn để trông coi mọi việc. Riêng thủ phủ của Bắc thành thì theo âm Việt vẫn gọi là thành Thăng Long, nhưng chữ viết Hán tự thì đổi khác không có nghĩa là nơi có rồng bay lên, mà lấy nghĩa là thành phố thăng bình và hưng thịnh. Những năm đầu thời Gia Long dựng nước, công lao đều nhờ ở các võ quan, đứng đầu ngành võ, theo quy chế, chánh nhất phẩm là ngũ quân đô thống, nhưng cao cấp nhất  chỉ có tiền quân Nguyễn Văn Thành được làm Tổng Trấn Bắc thành và tả quân Lê Văn Duyệt được giữ chức Tổng Trấn Gia Định thành cho đến lúc ông qua đời. Đến thời Minh Mệnh, vào năm Tân Mão (1831), vua Thánh Tổ bãi bỏ Bắc thành và Gia Định thành và những chức Tổng Trấn và theo lối nhà Thanh, đổi trấn làm thành tỉnh. Trước đó, thời Gia Long, nước ta có 27 trấn, nay lập thêm 4 tỉnh nữa, là tổng cộng 31 tỉnh, đặt những chức quan Tổng đốc để coi những tỉnh lớn và Tuần phủ để đứng đầu những tỉnh nhỏ. Thành Thăng Long là thủ phủ của Bắc thành nay cải thành một tỉnh goiï là Hà Nội. 

 

            Đồ chơi hình cây tháp, lúc mới được giáo sư Claus đưa ra, năm 1883, chỉ là một trò giải trí chuyển  đĩa không có gì khó khăn cả. Nhưng giờ đây đối với chúng ta, niên lịch  ấy lại có ý nghĩa lịch sử đặc biệt. Năm 1883 là năm vua Dực Tông băng hà và trong triều đại Tự Đức của ngài (1847-1883) là những năm chúng ta mất dần quyền tự chủ cho thực dân Pháp. Tháng 7 năm Mậu Ngọ (1858) Hải quân đề đốc nước Pháp là Rigault de Genouilly, theo lệnh của chính phủ Pháp đưa 14 chiến thuyền Pháp và Tây Ban Nha chở hơn 3 ngàn quân  vào cửa Đà Nẵng bắn phá các đồn lũy rồi đổ bộ hạ thành An Hải và thành Tôn Hải. Vì quân ta, do Kinh lược sứ Nguyễn Tri Phương  thống lĩnh, chống cự được dai dẳng, nên tướng Rigault de Genouilly giao lại hai thành cho một thuộc cấp và đưa binh thuyền vào Nam, qua cửa Cần Giờ, bắn phá các pháo đài ở hai bờ sông Đồng Nai, rồi tiến lên đánh thành Gia Định. Đây là chiến dịch mở đầu cho một cuộc xâm lăng đất nước ta và Triều đình Tự Đức phải ký hòa ước năm Nhâm Tuất (1862) nhường cho nước Pháp ba tỉnh Biên Hoà, Gia Định và Định Tường và để cho chiến thuyền Pháp ra vào tự do sông Cửu Long. Tuy phải nhượng đất cho ngoại bang nhưng vua Dực Tông vẫn nuôi hy vọng chuộc lại ba tỉnh miền Đông nên sang năm sau sai Lại bộ Thượng thư là ông Phan Thanh Giản đi sứ sang Pháp quốc, triều đại Nã Phá Luân đệ III, để xin điều đình lại vấn đề nhượng lãnh thổ. Cuộc đi sứ đã không đưa lại kết quả gì cho nước ta mà ngược lại gây thêm lòng tham chiếm thuộc địa của các cường quốc Tây phương lúc bấy giờ đang bành trướng ảnh hưởng kinh tế sang Á châu. Vì biết ý đồ của Pháp quốc muốn thừa cơ chiếm cả 3 tỉnh miền Tây Nam kỳ nên Triều đình Huế, vào năm Bính Dần (1866), lại cử ông Phan Thanh Giản vào Nam làm Kinh lược sứ để tìm kế hoạch chống giữ. Tháng 6 năm Đinh Mão (1867), là năm Tự Đức thứ 20, đề đốc de la Grandière là người chỉ huy quân Pháp bấy giờ hội được hơn 1000 quân ở Mỹ Tho rồi định kế hoạch sang lấy 3  tỉnh Vĩnh Long, An Giang và Hà Tiên. Kinh Lược sứ Phan Thanh Giản biết thế không chống nổi, bảo các quan thuộc hạ nộp thành trì cho Pháp để tránh cho dân chúng khỏi lâm vào cảnh binh đao rồi ông uống thuốc độc tự tử, đem tấm lòng trung mà báo đền ơn nước. Từ đó toàn đất Nam kỳ trở thành thuộc địa cũa Pháp.

 

            Sau khi nước Pháp chiếm xong đất Nam kỳ, súy phủ ở Sàigòn trông coi việc cai trị và cho người đi dò xét tình thế và sông núi ở Trung kỳ và Bắc kỳ để tìm đường thông thương sang nước Tàu. Viên Thống đốc Pháp ở Nam kỳ lúc đó là đề đốc Dupré làm phiếu trình về Bộ Thuộc địa ở Paris xin chính phủ chiếm giữ đất Bắc kỳ là nơi tiếp giáp với những tỉnh ở Tây Nam Trung quốc thì sự cai trị của nước Pháp ở Viễn Đông mới an toàn. Chính phủ Pháp tuy chưa chuẩn y nhưng vẫn tăng viện cho đạo quân viễn chinh để chuẩn bị đánh chiếm Bắc hà. Thành Thăng Long khi xưa đã bao lần có chiến tích oai hùng, đời nhà Trần năm Ất Dậu (1285), Thượng tướng Trần Quang Khải đánh quân Nguyên, Thái tử Thoát Hoan phải bỏ thành chạy, và ngày mồng Năm tháng Giêng năm Kỷ Dậu (1789), vua Quang Trung đại phá quân Thanh, Tổng Đốc Lưỡng Quảng là Tôn Sĩ  Nghị nửa đêm bỏ trốn, chạy qua sông để về phương Bắc, áo giáp không kịp mặc. Vậy mà, mới chỉ sắp tròn 100 năm sau, Thăng Long thành nay trở thành Hà Nội, chỉ vì quân ta không có võ khí quân dụng tân kỳ mà đã hai lần bị Pháp quân dùng đại bác bắn phá hạ thành. Sáng ngày rằm tháng 10 năm Qúi Dậu (1873), đại uý Francis Garnier ra lệnh nã thần công vào thành, chừng một giờ thì thành vỡ, quan đại thần Nguyễn Tri Phương bị thương nặng và bị bắt, không chịu bó thương, nhịn ăn mà chết, con trai là phò mã Nguyễn Lâm bị trúng đạn tử thương. Mỗi lần đánh hạ một đồn lũy như vậy, súy phủ Pháp ở Sàigòn lại một mặt  làm áp lực Triều đình Huế lấy thêm nhượng bộ, một mặt gửi văn thư về Pháp để xin được tăng viện tấn công Bắc kỳ để chiếm toàn vẹn lãnh thổ. Tháng Hai năm Nhâm Ngọ (1882), Hải quân đại tá Henri Rivière, nhận được lệnh của Thống đốc Le Myre de Vilers đem hai chiếc tàu và mấy trăm quân ra Hải Phòng rồi dùng tàu nhỏ lên Hà Nội đóng ở Đồn Thủy. Sang tháng Ba, vào tảng sáng ngày mồng 8,  Tổng đốc Hà Nội là ông Hoàng Diệu nhận được tối hậu thư của quân Pháp hẹn trong 3 giờ phải giải binh và toàn thể các quan văn võ phải tới Đồn Thủy nhận lệnh. Thật chưa bao giờ quân dân ta phải chịu một sự sỉ nhục như vậy. Đúng 8 giờ là giờ hẹn, quân Pháp khởi sự bắn đại bác phá thành. Chủ tướng Hoàng Diệu trèo lên cây thắt cổ tự vẫn, các quan nhiều người bỏ trốn. Người đương thời có làm bài Chính Khí Ca nói về việc quân ta giữ thành Hà Nội nêu lên những gương sáng anh dũng, cũng như phô bầy những trường hợp yếu hèn. Bài ca ấy không biết ai làm nhưng được truyền tụng đời đời. Thành Thăng Long hay thành Hà Nội, trải qua gần một ngàn năm, khí thiêng sông núi như vẫn còn. Nhờ anh linh của những anh hùng liệt sĩ đã chống giữ thành, hai lần quân Pháp tấn công, cả hai lần quân ta, chủ soái đều tuẫn tiết theo thành. Những kẻ ngoại bang chiến thắng, như đại úy Francis Garnier và đại tá Henri Rivière, sau mỗi lần hạ thành thì ít lâu sau đều bị đồng minh cuả ta là quân Cờ Đen phục kích và giết chết, cùng ở một địa điểm là Ô Cầu Giấy.

 

            Sau khi quân Pháp hạ thành Hà Nội lần thứ hai, Triều đình Huế hoàn toàn vô quyền lực, lệnh vua truyền ra ngoài không ai phụng chỉ. Lực lượng viễn chinh của quân đôïi Pháp ngày một tăng cường và dưới sự chỉ huy của thiếu tướng Bouet, theo lệnh của viên Toàn Quyền Harmand, tiếp tục đánh chiếm nhiều tỉnh ở Bắc kỳ. Để làm áp lực với Triều đình Huế, ngày 15 tháng 7 năm Qúi Mùi (1883), toàn quyền Harmand và đô đốc Courbet đem chiến thuyền vào đánh cửa Thuận An là cửa ngõ vào kinh thành. Chống cự được ba ngày thì thành Trấn Hải tan vỡ, các quan trấn thành, người tử trận, người nhẩy xuống sông tự vẫn. Triều đình Huế đang cảnh bối rối vì vua  Dực Tông vùa băng hà, nay thấy tình hình nguy cấp liền sai quan ra xin hòa. Viên toàn quyền Harmand bắt quan ta phải giải binh ở mọi nơi và vào ngày 23 tháng 7, ký vào một hòa ước chịu nhận sự bảo hộ của nước Pháp. Sang năm tiếp theo là năm Giáp Thân (1884) chính phủ Pháp đòi sửa lại một vài điều khoản ở hòa ước đã ký và khi công sứ nước Pháp ở Bắc Kinh là ông Patenôtre trên đường đi nhậm chức, khi đi qua Sàigòn  đã nhận được chỉ thị của  chính phủ ở Paris  để cùng với khâm sứ Rheinart ra Huế thương nghị với triều đình nuớc ta và sửa đổi lại mấy điều khoản  trong hòa ước Qúi Mùi.

 

            Theo hoà ước mới này được ký năm  Giáp Thân, ngày 13 tháng 5, theo Dương lịch là ngày 6 tháng 6 năm 1884, ngoài Nam kỳ là nhượng địa cho nước Pháp, phần đất còn lại của Việt Nam được đặt dưới quyền bảo hộ của chính phủ Pháp và được chia làm Bắc kỳ và Trung kỳ, mỗi phần đất có một cách cai trị khác nhau. Đó là chính sách chia để trị của thực dân Pháp. Mặt khác điều khoản chính thay đổi trong hoà ước Patenôtre chỉ là vấn đề thay đổi lãnh thổ, đặc biệt là phần đất thuộc về Trung kỳ nay gồm có cả tỉnh Bình Thuận ở phía Nam và 3 tỉnh ở ngoài Đèo Ngang về phía Bắc là Hà tĩnh Nghệ An và Thanh Hoá.

 

            Đọc đến đây ta không khỏi ngán ngẩm nghĩ đến một sự trùng hợp kỳ lạ là hơn một trăm năm sau, vào những năm 1999 và 2000, chính phủ cộng sản Việt Nam lại ký với ngoại bang, lần này với đàn anh Trung Cộng hai hiệp ước có liên hệ tới vấn đề lãnh thổ dọc theo biên giới Việt Trung. Vấn đề làn ranh biên giới giữa Việt Nam và Trung Hoa đã được chính phủ Pháp đặt ra với nhà Thanh bên Tàu từ trước khi họ ký kết hòa ước Qúi Mùi với Triều đình nhà Nguyễn. Trong những năm quân Pháp tấn công và chiếm đóng những vị trí trọng yếu ở Bắc kỳ, Triều đình Huế đã cầu viện Thanh Triều và mở biên giới Việt Trung để 12 vạn quân Tàu tràn sang theo hai ngả từ Vân Nam và Quảng Tây. Nhiều trận chiến ác liệt giữa quân Pháp và quân Tàu đã xảy ra ở vùng Đồng Đăng và Lạng Sơn. Mặt khác, để giải toả áp lực ở biên giới, vào tháng 7 năm 1884, thủy sư  đô đốc Courbet được phong làm tổng tư lệnh hạm đội Pháp ở Viễn Đông nay được tăng cường tới khoảng 40 chiếc gồm cả 4 thiết giáp hạm và 14 tuần dương hạm để đánh phá Phúc Châu với mục đích tiêu diệt hạm đội Trung Hoa. Trận chiến  Pháp-Trung tuy ngắn ngủi nhưng cũng đưa đến Hiệp ước hòa bình, hữu nghị và thương mại (traité de paix, d’amitié et de commerce) được ký kết tại Thiên Tân ngày 9 tháng 6 năm 1885 giữa Lý Hồng Chương, đại diện nhà Thanh và công sứ  Patenôtre, đại diện chính phủ Pháp, và được quốc hội Pháp thông qua ngày 20 tháng 11 cùng năm ấy. Đặc biệt là điều 3 của Hiệp ước này dự trù xác định lại đường biên giới giữa Việt Nam và Trung Hoa. Thi hành Hiêïp ước này, chính phủ Pháp và nhà Thanh đã ký hai Công ước những năm 1887 và 1895 để ấn định đường ranh biên giới và hai bên đã thực hiện công tác cắm 308 cột mốc từ  Lào Cai cho tới Móng Cái trong khoảng thời gian là 10 năm và một bản đồ biên giới đã được thiết lập. Nhưng điều đau đớn cho người Việt chúng ta là từ năm 1954, đã nhiều lần Trung Cộng lấn đất của Việt Nam, mà đàn em Việt Cộng không có một lời lên tiếng phản đối, ngoại trừ lần xung đột xẩy ra năm 1979. Hai hiệp ước đã ký những năm 1999 và 2000 chỉ nhằm hợp thức hoá những gì mà giới chức lãnh đạo Việt cộng đã công khai chuyển nhượng cho Trung cộng. Theo những tin đã đươc công bố chúng ta thấy ở Aỉ Nam Quan, biên giới đã bị lấn xâu xuống phiá Nam 200 mét, thác Bản Giốc ở Cao Bằng đã bị mất một nửa, 11 ngàn cây  số vuông trong Vịnh Bắc Việt đã chuyễn sang thành hải phận của Trung cộng. Các quần đảo Hoàng Sa và Trường Sa đã được Việt cộng  chính thức công nhận từ lâu là thuộc chủ quyền về đàn anh Trung cộng. Nhưng cả hai bên đều che giấu bản đồ biên giới thiết lập theo Hiệp ước Thiên Tân. Chỉ khi bản đồ này được  bạch hoá chúng ta mới biết được những đất đai và vùng biển cả nào của giang sơn gấm vóc nước ta bị dâng hiến cho Trung Cộng để được sự che chở cho những kẻ cầm quyền đương thời ở Hà Nội. Đọc thơ nhớ về Thăng Long của Bà Huyện Thanh Quan, chúng ta cảm thấy một nỗi buồn man mác, nhưng nghe tin về Hà Nội hiện nay, thật tình chúng ta thấy đau lòng như nữ sĩ đã viết:

 

                                            Nhớ nước đau lòng con quốc quốc,  

                                            Thương nhà mỏi miệng cái gia gia.

 

Giải Bài Toán Cây Tháp

 

            Để đưa lại chút vui giải trí cho bạn đọc tôi xin kết luận bài tản mạn đầu xuân bằng  lời giải  bài toán cây tháp và đồng thời giải thiùch tại sao một bài toán cổ lại có áp dụng  ở thời đại điện toán hiện đại. Trong số báo Mathematics Magazine phát hành tháng 12 năm 1994 của Hội Toán Học Hoa Kỳ có một bài viết của giáo sư  David G. Poole của Đại học Trent ở Canada với đề là “The Towers and Triangles of Professor Claus”. Và thêm một phụ đề là “Pascal knows Hanoi”. Tên tuổi của Blaise Pascal (1623-1662) là một toán và triết gia của nước Pháp thì ai cũng biết. Nhưng ông là người của thế kỷ 17, và thời ấy thì thành Thăng Long chưa đổi tên là Hà Nội. Sở dĩ giáo sư  Poole đưa tên Pascal vào bài viết vì trong lời giải của ông có dùng  một liên hệ được biết tới như là liên hệ tam giác Pascal. Ngoài ra tưởng cũng nên biết rằng tuy vào đầu thế kỷ thứ 19, dân Paris chưa ai được từng nghe thấy nói đến  thành phố Hà Nội, nhưng chỉ ít lâu sau, qua những tin đánh chiếm thuộc địa ở Á châu, và những tin chiến sự khi quân Pháp bắt đầu đánh phá Bắc kỳ, thì người Pháp đã được thấy Hà Nội nhắc nhở nhiều lần trên báo chí. Cũng vì vâïy mà giáo sư Claus đã đặt tên Hà Nội cho bài toán của ông. Nhưng ông đã không thể nào tiên đoán được rằng hơn một trăm năm sau, có một bài viết về cây tháp ở Hà Nội  mà, ở phần phụ lục, tác giả là giáo sư  Poole đã kê một danh sách dài có 65 bài viết được trích dẫn, hầu hết được đăng trên các báo chuyên môn về điện toán có uy tín và chỉ trong vòng mười năm mới đây. Các nhà khảo cứu toán học này đều xoay quanh một đề tài có tên là “Cây tháp ở Hà Nội”.

 

            Trở lại Hình 1, chúng ta thử tìm phương pháp dùng một số chuyển vận tối thiểu để đưa từng chiếc một, tất cả những đĩa từ cột A sang một cột khác với quy ước là đĩa lớn bao giờ cũng phải nằm dưới đĩa bé hơn. Bài giải đầu tiên là bài của R. E. Allardice và A. Y. Fraser được đăng báo năm 1884. Một trong những phương pháp để tìm ra lời giải số chuyển vận tối thiểu giữa những cọc là dùng một lý thuyết số học gọi là hệ thống bậc hai (binary system), mà hệ thống này lại thông dụng trong điện toán. Mặt khác, bài toán cây tháp là một thí dụ điển hình về thuật tính lập lại (iterative algorithm) mà kỹ thuật này lại hay được dùng để viết những chương trình giải toán điện tử. Dưới đây tôi chỉ dùng lời giải dản dị nhất cho dễ hiểu mà thôi.

 

            Ta dùng những số 1, 2, 3, … để gọi những đĩa, và dùng số 1 cho đĩa nhỏ nhất và cứ thế tăng dần. Trong trường hợp tổng quát thì n là đĩa lớn nhất. Muốn cho dễ hiểu, ta lấy trường hợp có 2 đĩa và trường hợp có 3 đĩa và tóm tắt sự chuyển vận hợp lý nhất, nghĩa là dùng số chuyển vận ít nhất, theo bảng ở Hình 2. Dấu ngôi sao (*) dùng để chỉ lúc bắt đầu và lúc hoàn tất.

 

Hình 2

 

            Dĩ nhiên, lần di chuyển đầu tiên ta phải chuyển đĩa 1, và theo quy ước ta chuyển đĩa sang cọc B. Nếu chỉ có 2 đĩa thì sau đó chuyển đĩa 2 sang cọc C rồi chuyển đĩa 1 sang cọc C  chồng lên đĩa 2 là hoàn tất. Số lần di chuyển cho 2 đĩa, gọi là d₂ là:

 

                                d₂  =  1 + 2¹    =  3

 

Như thế ta có 3 lần chuyển,  đĩa lớn nhất chuyển 1 lần, đĩa nhỏ nhất chuyển 2 lần.

 

            Nếu có 3 đĩa thì theo như bảng chuyển vận trên Hình 2, đĩa lớn nhất di chuyển 1 lần, đĩa thứ nhì di chuyển 2 lần và đĩa nhỏ nhất di chuyển 4 lần. Tổng cộng cho 3 đĩa, số lần chuyển vận sẽ là:

 

                                 d₃   =   1 +  2¹  +  2²    = 7

 

            Theo lối suy luận này thì khi có n đĩa, số chuyển vận sẽ là:

 

                                d_n   =   1 +  2¹  +   2²   +   2³    + …. +   2^n-1       =   2 ⁿ  -  1   (1)

 

            Trước khi chứng minh công thức này, ta có thể dựa lên Hình 1 để có những nhận xét tổng quát sau đây. Đĩa số 1, là đĩa nhỏ nhất, bao giờ cũng di chuyển theo một chiều, từ A đến B rồi đến C, rồi trở lại A để bắt đầu. Cứ cách một lần chuyển lại phải chuyển đĩa số 1. Nếu số đĩa chẵn thì cọc sau cùng là cọc C, và số đĩa lẻ thì cọc sau cùng là cọc B. Đĩa lớn nhất bao giờ cũng chuyển một lần, và đúng giữa những lần vận chuyển, tổng số bao giờ cũng là số lẻ.

 

            Để tìm ra công thức (1), ta lý luận như sau: Giả sử ta chỉ muốn vận chuyển (n-1) đĩa mà thôi, thì số chuyển vâïn là  d_{n-1 ,} và sau những những lần chuyển vận này (n-1)  đĩa đã được xếp đúng quy tắc, chẳng hạn ở cọc B. Nay muốn chuyển (n)  đĩa thì ta đưa đĩa n từ cọc A sang cọc C và làm lại bài toán như lần trước là làm sao vận chuyển (n-1) đĩa từ cọc B sang cọc C. Như thế là giữa số chuyển vận d_n-1 và  d_n  ta có hệ thức:

 

                                d_n    =   2 d_n-1  +  1                                                                          (2)

 

            Đến đây ta tạm dừng một chút để nhận định rằng mỗi một lần thêm môt đĩa là ta lại phải làm thêm một lần vận chuyển giống hệt như lần trước. Nhiều chương trình giải bằng điện toán dùng phương sách này gọi là thuật tính lập lại. Nay ta dùng công thức (2) và phương pháp lý luận gọi là phép quy nạp để chứng minh công thức (1) cho số vận chuyển tối thiểu của cây tháp có (n) đĩa. Trước hết ta viết lại công thức đó ngắn gọn như sau:

 

                                d _n   =   2ⁿ  -   1                                                                                     (3)

 

               Theo công thức này, nếu có 1 đĩa, n = 1 và d₁ = 1. Dĩ nhiên ta chỉ có một lần vận chuyển. Nếu có 2 đĩa, n = 2 và  d₂ = 3 . Nếu có 3 đĩa, n = 3 và theo công thức (3) , d₃ = 7. Theo như bảng trên Hình 2, ta thấy quả là công thức đã được nghiệm đúng cho n = 1, n = 2 và n = 3.

 

            Ta thí  dụ rằng công thức đúng cho trường hợp có (n-1) đĩa và như vậy số lần vận chuyển là :

 

                                    d_n-1  =  2^n-1 - 1 

 

Nay ta cần chứng minh rằng công thức còn đúng khi có (n) đĩa. Vì giữa những số vận chuyển  d_n-1 và  d_n  tacó hệ thức (2) nên ta có thể viết là :

 

                                    d_n  =   2 (2^n-1 – 1) + 1  =  2x2^n-1 – 2 + 1 

 

            Viết thu gọn lại, ta có :

 

                                    d_n  =   2ⁿ   -  1

 

và thấy quả là công thức (3) cho số chuyển vận đĩa đã đúng cho bất kỳ số (n) nào. Trường hợp cây tháp của giáo sư Claus, ta có n= 8 và số lần vận chuyển là  d₈ = 2⁸ – 1 = 256 – 1 = 255.

 

            Về tổng số (2ⁿ – 1) như ở phương trình (3) ta có những câu chuyện sau đây: Một ông Vua Ba Tư, là nước của những câu chuyện “Nghìn lẻ một đêm”, muốn thưởng cho một người đã nghĩ ra bàn cờ có 64 ô vuông, nên đã mời tay kỳ bá này tới để cho tùy ý chọn một đồ vật qúy muốn được ban thưởng. Người này chỉ xin Vua cho đặt một hột gạo ở ô cờ đầu tiên và 2 hạt ở ô thứ hai, 4 hạt ở ô thứ ba, cứ thế cho đến ô thứ 64. Ông chỉ xin lãnh số gạo này, thực ra là gạo mì, để về chia cho họ hàng. Nhưng đến khi tính ra, nếu nhà Vua có thể cung cấp đủ, thì có thể nuôi sống toàn nhân loại vào khoảng mấy ngàn năm. Con số tổng cộng là  (2⁶⁴  - 1)  đã vào khoảng bằng 1845 và viết tiếp sau là 16 con số không.

 

            Con số khổng lồ này cũng được tính trong truyền tích Ấn Độ trong câu chuyện nhóm cao tăng ở Ấn giáo chuyển 64 cái đĩa vàng giữa ba cọc kim cương , câu chuyện đã được kể ở đầu bài. Theo truyền tích thì sau khi hoàn tất sự chuyển đĩa thì vạn vật sẽ tan ra cát bụi. Nếu ta thí dụ mỗi lần chuyển đĩa sẽ mất một giây đồng hồ và các vị cao tăng thay phiên nhau làm suốt ngày đêm, tính cho gọn một thế kỷ là 365x100 ngày thì mỗi thế kỷ số lần chuyển đĩa là 31536 với 5 số không tiếp theo. Nếu việc chuyển đĩa không nhầm lẫn và muốn hoàn mãn để được số chuyển là 1845 với 16 con số không đã tính ở trên thì ta phải mất vào khoảng 6 tỉ thế kỷ. Theo ước lượng hiện nay thì dù lạc quan tới đâu ta cũng không có thể nghĩ là trái đất, và cả thái dương hệ của chúng ta sẽ có thể tồn tại sau khoảng thời gian này.